Закон больших чисел
Закон больших чисел (ЗБЧ) — это фундаментальная теорема теории вероятностей, которая утверждает, что среднее значение результатов большого числа испытаний стремится к математическому ожиданию при увеличении количества экспериментов.
Проще говоря:
🔹 Чем больше попыток, тем ближе средний результат к теоретически предсказанному.
—
Формулировка закона
Существует две основные формы:
Усиленный закон больших чисел (теорема Колмогорова)
- Если ( X_1, X_2, \dots, X_n ) — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечным матожиданием ( \mathbb{E}[X_i] = \mu ), то:
[
\frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n} \xrightarrow{\text{почти наверное}} \mu \quad \text{при} \quad n \to \infty
]
- То есть среднее арифметическое сходится почти наверное к ( \mu ).
Слабый закон больших чисел
- Среднее арифметическое сходится по вероятности к матожиданию:
[
\lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{X_1 + \dots + X_n}{n} - \mu \right| \geq \varepsilon \right) = 0 \quad \text{для любого} \quad \varepsilon > 0
]
—
Примеры для понимания
🎲 Игральная кость
- Теоретическое среднее (матожидание) для 6-гранного кубика:
[
\mu = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5
]
- Если бросить кубик 10 раз, среднее может быть далеко от 3.5 (например, 2.8).
- Если бросить 10 000 раз, среднее будет очень близко к 3.5.
💰 Казино и страхование
- Казино всегда в плюсе на длинной дистанции, потому что математическое ожидание в их пользу.
- Страховые компании рассчитывают риски, опираясь на статистику миллионов клиентов.
—
Где применяется?
✅ Статистика — чем больше выборка, тем точнее выводы.
✅ Финансы — усреднение рисков при инвестициях.
✅ Машинное обучение — сходимость алгоритмов при большом объёме данных.
✅ Физика — предсказание средних значений в термодинамике.
—
Важные уточнения
⚠ ЗБЧ не означает, что отклонения невозможны — он гарантирует лишь уменьшение их влияния при росте ( n ).
⚠ Не путать с “законом средних” (это заблуждение, что после серии одного исхода “должен” выпасть другой).
Вывод: Закон больших чисел объясняет, почему статистика работает при большом количестве данных.
“Закон средних” — это заблуждение!
На самом деле, такого закона в теории вероятностей не существует. Этот термин часто путают с законом больших чисел, но между ними есть ключевая разница.
—
🔹 Что ошибочно называют “законом средних”?
Это ложное убеждение, что после серии отклонений система должна “вернуться к среднему”.
Примеры заблуждения:
🎰 “В казино уже 10 раз выпало красное — значит, скоро будет чёрное!”
→ На самом деле, рулетка не имеет памяти, и вероятность не меняется.
🎲 “Кубик не выпадал шестёркой 20 раз — значит, скоро выпадет!”
→ Каждый бросок независим, и вероятность остаётся ⅙.
📉 “Акция падала 5 дней подряд — завтра точно вырастет!”
→ Рынки не обязаны “компенсировать” падения.
—
🔹 Почему это ошибка?
- Независимость событий – прошлые исходы не влияют на будущие (в честных испытаниях).
- Отсутствие “компенсации” – вероятность не меняется, даже если кажется, что “должно выровняться”.
—
🔹 Чем это отличается от закона больших чисел?
| “Закон средних” (миф) | Закон больших чисел (наука) |
|---|
| “После серии орлов решка станет вероятнее” | “При бесконечных бросках доля орлов стремится к 50%” |
| Ожидание короткострочной компенсации | Описывает долгосрочное усреднение |
| Неправильная интуиция | Строгая математическая теорема |
—
🔹 Откуда взялся этот миф?
- Психология – людям свойственно искать закономерности даже в случайностях (апофения).
- Путаница с законом больших чисел – его часто неправильно интерпретируют.
- Примеры из жизни – например, после засухи может пойти дождь, но это не вероятностный процесс, а сложная система.
—
🔹 Вывод
❌ “Закон средних” — это опасное заблуждение, ведущее к ошибкам в азартных играх, инвестициях и анализе данных.
✅ Закон больших чисел говорит лишь о том, что на длинной дистанции среднее стабилизируется, но не гарантирует “выравнивания” в коротких сериях.
Запомните: Случайность не обязана “исправляться”. После 100 орлов подряд вероятность решки всё ещё 50% (если монета честная).
